什么是無理數？

無理數，也稱為無窮不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無窮多個，并且不會循環。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數）等。無理數的另一特征是無窮的連分數表達式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。

數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，后者是由整數的比率（或分數）構成的數字。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“丈量”，即沒有長度（“度量”）。

常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，歐拉數e，黃金比例φ等等。

可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重復，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進制表示從3.9793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重復。必須終止或重復的有理數字的十進制擴展的證據不同于終止或重復的十進制擴展必須是有理數的證據，盡管基本而不冗長，但兩種證實都需要一些工作。數學家通常不會把“終止或重復”作為有理數概念的定義。

無理數也可以通過非終止的連續分數來處理。

無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進制下的無窮不循環小數，如圓周率、等。

而有理數由所有分數，整數組成，總能寫成整數、有限小數或無窮循環小數，并且總能寫成兩整數之比，如21/7等。

在實數中，無窮不循環小數叫做無理數。實數包括有理數和無理數。整數和分數統稱為有理數。有理數都可以化成分數形式，即分數都是有理數。有理數也可以化成有限小數或者無窮循環小數。但是無窮不循環小數不是有理數，而是無理數，如無理數√2，√3,?π，e……。

什么無理數的定義？

無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無窮不循環小數。如圓周率、2的平方根等。實數（realmunber)分為有理數和無理數(irrationalnumber)有理數是一個整數a和一個非零整數b的比，通常寫作a/b。

包括整數和通常所說的分數，此分數亦可表示為有限小數或無窮循環小數。這一定義在數的十進制和其他進位制（如二進制）下都適用。

拓展資料:

無理數應滿足三個條件：

①是小數；

②是無窮小數；

③不循環．圓周率π=3.141592653……

畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數學家。他證實很多重要的定理，包括后來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和即是以斜邊為邊長的正方形的面積。畢達哥拉斯將數學知識運用得熟練之后，覺得不能只滿足于用來算題解題，于是他試著從數學領域擴大到哲學，用數的觀點往解釋一來世界。經過一番刻苦實踐，他提出“萬物皆為數”的觀點：數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。

無理數，也稱為無窮不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無窮多個，并且不會循環。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數）等。

無理數的另一特征是無窮的連分數表達式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。

無理數的定義

在數學中,無理數是所有不是有理數

字的實數,后者是由整數的比率(或

分數)構成的數字。當兩個線段的長

度比是無理數時,線段也被描述為不

可比較的,這意味著它們不能“測

量”,即沒有長度(“度量”)。

無理數,也稱為無窮不循環小數,不

能寫作兩整數之比。若將它寫成小數

形式,小數點之后的數字有無窮多

個,并且不會循環。常見的無理數

有非完全平方數的平方根、π和e

(其中后兩者均為超越數)等。無理

數的另一特征是無窮的連分數表達

式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟

子希伯索斯發現。

二常見的幾類無理數

1.圓周率n及一些含有π的數

2開不盡方的數(留意:帶根號的數

不一定是無理數)

3有一定的規律,但不循環的無窮小

數。

什么是無理數？

無理數是指不能表示為兩個整數的比值的實數。

無理數包括無窮不循環小數，如π和√2等。

無理數的定義告訴我們，它們無法用整數的比值來精確表示，由于它們的小數部分是無窮不循環的，沒有規律可循。

這使得無理數在數學中具有重要的作用，由于它們能夠表達現實世界中很多精確的丈量和計算結果。

無理數的概念一開始由古希臘的畢達哥拉斯學派引進，發現√2是一個無理數，這一不可思議的發現也標志著數學的廣泛發展。

無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進制下的無窮不循環小數，如圓周率、如圓周率、√2等。在數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，后者是由整數的比率（或分數）構成的數字。

當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“丈量”，即沒有長度（“度量”）。常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，歐拉數e，黃金比例φ等等。

什么叫做無理數

無理數，也稱為無窮不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無窮多個，并且不會循環。 常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數）等。無理數的另一特征是無窮的連分數表達式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。

擴展資料無理數的發現：偉大的數學家畢達哥拉斯以為：世界上只存在整數和分數，除此以外，沒有別的什么數了。可是不久就出現了一個題目：當一個正方形的邊長是1的時候，對角線的長m即是多少。是整數呢，還是分數。畢達哥拉斯和他的徒弟費了九牛二虎之力，也不知道這個m究竟是什么數。世界上除了整數和分數以外還有沒有別的數。這個題目引起了學派成員希伯斯的愛好，他花費了很多的時間往鉆研，終極希伯斯中斷言：m既不是整數也不是分數，是當時人們還沒有熟悉的新數。從希伯斯的發現中，人們知道了除了整數和分數以外，還存在著一種新數，就是一個新數，當時人們覺得，整數和分數是輕易理解的，就把整數和分數合稱“有理數”，而希伯斯發現的這種新數不好理解，就取名為“無理數”。參考資料來源：百度百科-無理數參考資料來源：百度百科-希伯斯

有理數----有理數的定義是：只要能以分數形式表現出來的數，就是有理數(當然必須限定是分母、分子都是整數，且分母不得為0)。所以整數、有限小數、循環小數、及分數都是有理數。簡單的說，就是：可以用分數表示的數。

無理數----無理數的定義恰好和有理數相反。無理數就是無法以單純分數形式表示的數，例如無法開出的根號數(根號2、根號3...)，或是某些特定的無窮(不循環)小數，例如大家熟知的圓周率。

大家都知道著名的圓周率π＝3．1415926……是個無窮不循環的小數，可是大家知道像π這樣無窮不循環的小數又叫無理數嗎？為什么叫無理數呢？關于無理數的發現還有個帶有血腥味的故事呢。

公元前六世紀，古希臘有個數學權威叫畢達哥拉斯，他曾中斷言：任何兩條線段相比，都可以用兩個整數之比來表示，由此推導出，自然界只有整數和分數兩種數，不存在其他的數。但畢達哥拉斯這個結論提出不久，他的學生希伯斯就發現邊長為1的正方形，其對角線和邊長不能成為整數比，即既不是整數，又不是分數，而是一個當時人們還未熟悉的數。希伯斯的發現觸犯了畢達哥拉斯的權威。于是，畢達哥拉斯就下令封閉這個發現，不讓其傳播。可是，希伯斯的發現還是不脛而走，越來越多的人都知道了這一新數。畢達哥拉斯大為惱怒，就下令追捕希伯斯，最后在一條船上找到希伯斯，竟殘忍地把希伯斯手腳捆住，扔進波濤洶涌的地中海。

希伯斯固然葬身魚腹，冤沉大海，但他的發現卻為舉世公認。由于人們當時不能理解這種新數，但這種新數（如圓周率π）在自然界的確大量客觀存在，因而人們把這種數與已發現的整數、分數相比，將它取名為“無理數”，而將分數、整數稱為“有理數”。

無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無窮多個，并且不會循環。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中后兩者同時為超越數）等。無理數的另一特征是無窮的連分數表達式。傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現，而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。后來希伯斯將無理數透露給外人因而被正法，其罪名等同于“瀆神”。

無理數，也稱為無窮不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無窮多個，并且不會循環。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數）等。無理數的另一特征是無窮的連分數表達式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。基本先容中文名：無理數外文名：Irrationalnumber別稱：無窮不循環小數提出者：希伯索斯套用學科：數學性質：不能用分數進行表示對應概念：有理數所屬范圍：實數定義,歷史,證實方法,拓展,實例,定義在數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，后者是由整數的比率（或分數）構成的數字。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“丈量”，即沒有長度（“度量”）。常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，歐拉數e，黃金比例φ等等。可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重復，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進制表示從3.9793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重復。必須終止或重復的有理數字的十進制擴展的證據不同于終止或重復的十進制擴展必須是有理數的證據，盡管基本而不冗長，但兩種證實都需要一些工作。數學家通常不會把“終止或重復”作為有理數概念的定義。無理數也可以通過非終止的連續分數來處理。無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進制下的無窮不循環小數，如圓周率、等。而有理數由所有分數，整數組成，總能寫成整數、有限小數或無窮循環小數，并且總能寫成兩整數之比，如21/7等。歷史畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數學家。他證實很多重要的定理，包括后來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和即是以斜邊為邊長的正方形的面積。畢達哥拉斯將數學知識運用得熟練之后，覺得不能只滿足于用來算題解題，于是他試著從數學領域擴大到哲學，用數的觀點往解釋一來世界。經過一番刻苦實踐，他提出“萬物皆為數”的觀點：數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數），這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相逕庭。這一發現使該學派領導人惶恐，以為這將動搖他們在學術界的統治地位，于是極力封閉該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，在一條海船上還是碰到畢氏徒弟。被畢氏徒弟殘忍地投進了水中殺害。科學史就這樣拉開了序幕，卻是一場悲劇。希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證實了它不能同連續的無窮直線等同看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經后人證實簡直多得“不可勝數”。于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的構想徹底地幻滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次數學危機，對以后2000多年數學的發展產生了深遠的影響，國際物流，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證實，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，并且孕育了微積分思想萌芽。不可約的本質是什么？長期以來眾說紛紜，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直以為是不可理喻的數。15世紀義大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家克卜勒稱之為“不可名狀”的數。然而真理究竟是沉沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們為了紀念希伯索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名“無理數”——這就是無理數的由來。由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被以為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。 分數=有限小數+無窮循環小數，無窮不循環小數是無理數證實方法歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證實無理數的經典方法：證實:√2是無理數假設不是無理數∴是有理數令(、互質且,)兩邊平方得即通過移項，得到：∴必為偶數∴必為偶數令則∴化簡得∴必為偶數∴必為偶數綜上，和都是偶數∴、互質，且、為偶數矛盾原假設不成立∴為無理數拓展證實是無理數（整數）,互素。假設則存在則a為偶數，設，為正整數代人上式有則b同樣是偶數，與條件（,）為互質的最小整數是相互矛盾的那么假設是不成立的則成立，那么必為無理數。實例假如正整數N不是完全平方數，那么不是有理數（是無理數）。證實：若假設是有理數，不妨設，其中p與q都是正整數（不一定互質。若假定p、q互質則證法稍有變動）。設的整數部分為a，則有不等式成立。兩邊乘以q，得因p、q、a都是整數，p-aq也是一個正整數。再在上述不等式的兩邊乘以，得即：顯然，qN-ap也是一個正整數。于是我們找到了兩個新的正整數和，它們滿足，海運費，即，并且有。重復上述步驟，可以找到一系列的使得且。因該步驟可以無窮重復，意味著均可無窮減小，但這與正整數最小為1矛盾。因此假設錯誤，不是有理數。

無理數，也稱為無窮不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無窮多個，并且不會循環。