什么是無(wú)理數(shù)？

無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)窮多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數(shù)）等。無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)窮的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。

數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“丈量”，即沒(méi)有長(zhǎng)度（“度量”）。

常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有：圓周長(zhǎng)與其直徑的比值，歐拉數(shù)e，黃金比例φ等等。

可以看出，無(wú)理數(shù)在位置數(shù)字系統(tǒng)中表示（例如，以十進(jìn)制數(shù)字或任何其他自然基礎(chǔ)表示）不會(huì)終止，也不會(huì)重復(fù)，即不包含數(shù)字的子序列。例如，數(shù)字π的十進(jìn)制表示從3.9793開(kāi)始，但沒(méi)有有限數(shù)字的數(shù)字可以精確地表示π，也不重復(fù)。必須終止或重復(fù)的有理數(shù)字的十進(jìn)制擴(kuò)展的證據(jù)不同于終止或重復(fù)的十進(jìn)制擴(kuò)展必須是有理數(shù)的證據(jù)，盡管基本而不冗長(zhǎng)，但兩種證實(shí)都需要一些工作。數(shù)學(xué)家通常不會(huì)把“終止或重復(fù)”作為有理數(shù)概念的定義。

無(wú)理數(shù)也可以通過(guò)非終止的連續(xù)分?jǐn)?shù)來(lái)處理。

無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，如圓周率、等。

而有理數(shù)由所有分?jǐn)?shù)，整數(shù)組成，總能寫(xiě)成整數(shù)、有限小數(shù)或無(wú)窮循環(huán)小數(shù)，并且總能寫(xiě)成兩整數(shù)之比，如21/7等。

在實(shí)數(shù)中，無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。有理數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)形式，即分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)。有理數(shù)也可以化成有限小數(shù)或者無(wú)窮循環(huán)小數(shù)。但是無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)，如無(wú)理數(shù)√2，√3,?π，e……。

什么無(wú)理數(shù)的定義？

無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)。如圓周率、2的平方根等。實(shí)數(shù)（realmunber)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)(irrationalnumber)有理數(shù)是一個(gè)整數(shù)a和一個(gè)非零整數(shù)b的比，通常寫(xiě)作a/b。

包括整數(shù)和通常所說(shuō)的分?jǐn)?shù)，此分?jǐn)?shù)亦可表示為有限小數(shù)或無(wú)窮循環(huán)小數(shù)。這一定義在數(shù)的十進(jìn)制和其他進(jìn)位制（如二進(jìn)制）下都適用。

拓展資料:

無(wú)理數(shù)應(yīng)滿足三個(gè)條件：

①是小數(shù)；

②是無(wú)窮小數(shù)；

③不循環(huán)．圓周率π=3.141592653……

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他證實(shí)很多重要的定理，包括后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和即是以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得熟練之后，覺(jué)得不能只滿足于用來(lái)算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)往解釋一來(lái)世界。經(jīng)過(guò)一番刻苦實(shí)踐，他提出“萬(wàn)物皆為數(shù)”的觀點(diǎn)：數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒(méi)有不可以用數(shù)來(lái)表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。

無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)窮多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數(shù)）等。

無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)窮的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。

無(wú)理數(shù)的定義

在數(shù)學(xué)中,無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)

字的實(shí)數(shù),后者是由整數(shù)的比率(或

分?jǐn)?shù))構(gòu)成的數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)

度比是無(wú)理數(shù)時(shí),線段也被描述為不

可比較的,這意味著它們不能“測(cè)

量”,即沒(méi)有長(zhǎng)度(“度量”)。

無(wú)理數(shù),也稱(chēng)為無(wú)窮不循環(huán)小數(shù),不

能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)

形式,小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)窮多

個(gè),并且不會(huì)循環(huán)。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)

有非完全平方數(shù)的平方根、π和e

(其中后兩者均為超越數(shù))等。無(wú)理

數(shù)的另一特征是無(wú)窮的連分?jǐn)?shù)表達(dá)

式。無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟

子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。

二常見(jiàn)的幾類(lèi)無(wú)理數(shù)

1.圓周率n及一些含有π的數(shù)

2開(kāi)不盡方的數(shù)(留意:帶根號(hào)的數(shù)

不一定是無(wú)理數(shù))

3有一定的規(guī)律,但不循環(huán)的無(wú)窮小

數(shù)。

什么是無(wú)理數(shù)？

無(wú)理數(shù)是指不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比值的實(shí)數(shù)。

無(wú)理數(shù)包括無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，如π和√2等。

無(wú)理數(shù)的定義告訴我們，它們無(wú)法用整數(shù)的比值來(lái)精確表示，由于它們的小數(shù)部分是無(wú)窮不循環(huán)的，沒(méi)有規(guī)律可循。

這使得無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)中具有重要的作用，由于它們能夠表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中很多精確的丈量和計(jì)算結(jié)果。

無(wú)理數(shù)的概念一開(kāi)始由古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派引進(jìn)，發(fā)現(xiàn)√2是一個(gè)無(wú)理數(shù)，這一不可思議的發(fā)現(xiàn)也標(biāo)志著數(shù)學(xué)的廣泛發(fā)展。

無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，如圓周率、如圓周率、√2等。在數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。

當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“丈量”，即沒(méi)有長(zhǎng)度（“度量”）。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有：圓周長(zhǎng)與其直徑的比值，歐拉數(shù)e，黃金比例φ等等。

什么叫做無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)窮多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。 常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數(shù)）等。無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)窮的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。

擴(kuò)展資料無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：偉大的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯以為：世界上只存在整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此以外，沒(méi)有別的什么數(shù)了。可是不久就出現(xiàn)了一個(gè)題目：當(dāng)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1的時(shí)候，對(duì)角線的長(zhǎng)m即是多少。是整數(shù)呢，還是分?jǐn)?shù)。畢達(dá)哥拉斯和他的徒弟費(fèi)了九牛二虎之力，也不知道這個(gè)m究竟是什么數(shù)。世界上除了整數(shù)和分?jǐn)?shù)以外還有沒(méi)有別的數(shù)。這個(gè)題目引起了學(xué)派成員希伯斯的愛(ài)好，他花費(fèi)了很多的時(shí)間往鉆研，終極希伯斯中斷言：m既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，是當(dāng)時(shí)人們還沒(méi)有熟悉的新數(shù)。從希伯斯的發(fā)現(xiàn)中，人們知道了除了整數(shù)和分?jǐn)?shù)以外，還存在著一種新數(shù)，就是一個(gè)新數(shù)，當(dāng)時(shí)人們覺(jué)得，整數(shù)和分?jǐn)?shù)是輕易理解的，就把整數(shù)和分?jǐn)?shù)合稱(chēng)“有理數(shù)”，而希伯斯發(fā)現(xiàn)的這種新數(shù)不好理解，就取名為“無(wú)理數(shù)”。參考資料來(lái)源：百度百科-無(wú)理數(shù)參考資料來(lái)源：百度百科-希伯斯

有理數(shù)----有理數(shù)的定義是：只要能以分?jǐn)?shù)形式表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)，就是有理數(shù)(當(dāng)然必須限定是分母、分子都是整數(shù)，且分母不得為0)。所以整數(shù)、有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)、及分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是：可以用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)。

無(wú)理數(shù)----無(wú)理數(shù)的定義恰好和有理數(shù)相反。無(wú)理數(shù)就是無(wú)法以單純分?jǐn)?shù)形式表示的數(shù)，例如無(wú)法開(kāi)出的根號(hào)數(shù)(根號(hào)2、根號(hào)3...)，或是某些特定的無(wú)窮(不循環(huán))小數(shù)，例如大家熟知的圓周率。

大家都知道著名的圓周率π＝3．1415926……是個(gè)無(wú)窮不循環(huán)的小數(shù)，可是大家知道像π這樣無(wú)窮不循環(huán)的小數(shù)又叫無(wú)理數(shù)嗎？為什么叫無(wú)理數(shù)呢？關(guān)于無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)還有個(gè)帶有血腥味的故事呢。

公元前六世紀(jì)，古希臘有個(gè)數(shù)學(xué)權(quán)威叫畢達(dá)哥拉斯，他曾中斷言：任何兩條線段相比，都可以用兩個(gè)整數(shù)之比來(lái)表示，由此推導(dǎo)出，自然界只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩種數(shù)，不存在其他的數(shù)。但畢達(dá)哥拉斯這個(gè)結(jié)論提出不久，他的學(xué)生希伯斯就發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線和邊長(zhǎng)不能成為整數(shù)比，即既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)當(dāng)時(shí)人們還未熟悉的數(shù)。希伯斯的發(fā)現(xiàn)觸犯了畢達(dá)哥拉斯的權(quán)威。于是，畢達(dá)哥拉斯就下令封閉這個(gè)發(fā)現(xiàn)，不讓其傳播。可是，希伯斯的發(fā)現(xiàn)還是不脛而走，越來(lái)越多的人都知道了這一新數(shù)。畢達(dá)哥拉斯大為惱怒，就下令追捕希伯斯，最后在一條船上找到希伯斯，竟殘忍地把希伯斯手腳捆住，扔進(jìn)波濤洶涌的地中海。

希伯斯固然葬身魚(yú)腹，冤沉大海，但他的發(fā)現(xiàn)卻為舉世公認(rèn)。由于人們當(dāng)時(shí)不能理解這種新數(shù)，但這種新數(shù)（如圓周率π）在自然界的確大量客觀存在，因而人們把這種數(shù)與已發(fā)現(xiàn)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)相比，將它取名為“無(wú)理數(shù)”，而將分?jǐn)?shù)、整數(shù)稱(chēng)為“有理數(shù)”。

無(wú)理數(shù)，即非有理數(shù)之實(shí)數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)窮多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有大部分的平方根、π和e（其中后兩者同時(shí)為超越數(shù)）等。無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)窮的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。傳說(shuō)中，無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯斯發(fā)現(xiàn)，而畢達(dá)哥拉斯深信任意數(shù)均可用整數(shù)及分?jǐn)?shù)表示，不相信無(wú)理數(shù)的存在。后來(lái)希伯斯將無(wú)理數(shù)透露給外人因而被正法，其罪名等同于“瀆神”。

無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)窮多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數(shù)）等。無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)窮的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。基本先容中文名：無(wú)理數(shù)外文名：Irrationalnumber別稱(chēng)：無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)提出者：希伯索斯套用學(xué)科：數(shù)學(xué)性質(zhì)：不能用分?jǐn)?shù)進(jìn)行表示對(duì)應(yīng)概念：有理數(shù)所屬范圍：實(shí)數(shù)定義,歷史,證實(shí)方法,拓展,實(shí)例,定義在數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“丈量”，即沒(méi)有長(zhǎng)度（“度量”）。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有：圓周長(zhǎng)與其直徑的比值，歐拉數(shù)e，黃金比例φ等等。可以看出，無(wú)理數(shù)在位置數(shù)字系統(tǒng)中表示（例如，以十進(jìn)制數(shù)字或任何其他自然基礎(chǔ)表示）不會(huì)終止，也不會(huì)重復(fù)，即不包含數(shù)字的子序列。例如，數(shù)字π的十進(jìn)制表示從3.9793開(kāi)始，但沒(méi)有有限數(shù)字的數(shù)字可以精確地表示π，也不重復(fù)。必須終止或重復(fù)的有理數(shù)字的十進(jìn)制擴(kuò)展的證據(jù)不同于終止或重復(fù)的十進(jìn)制擴(kuò)展必須是有理數(shù)的證據(jù)，盡管基本而不冗長(zhǎng)，但兩種證實(shí)都需要一些工作。數(shù)學(xué)家通常不會(huì)把“終止或重復(fù)”作為有理數(shù)概念的定義。無(wú)理數(shù)也可以通過(guò)非終止的連續(xù)分?jǐn)?shù)來(lái)處理。無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，如圓周率、等。而有理數(shù)由所有分?jǐn)?shù)，整數(shù)組成，總能寫(xiě)成整數(shù)、有限小數(shù)或無(wú)窮循環(huán)小數(shù)，并且總能寫(xiě)成兩整數(shù)之比，如21/7等。歷史畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他證實(shí)很多重要的定理，包括后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和即是以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得熟練之后，覺(jué)得不能只滿足于用來(lái)算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)往解釋一來(lái)世界。經(jīng)過(guò)一番刻苦實(shí)踐，他提出“萬(wàn)物皆為數(shù)”的觀點(diǎn)：數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒(méi)有不可以用數(shù)來(lái)表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的（若正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)），這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相逕庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，以為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封閉該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是碰到畢氏徒弟。被畢氏徒弟殘忍地投進(jìn)了水中殺害。科學(xué)史就這樣拉開(kāi)了序幕，卻是一場(chǎng)悲劇。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證實(shí)了它不能同連續(xù)的無(wú)窮直線等同看待，有理數(shù)并沒(méi)有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證實(shí)簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的構(gòu)想徹底地幻滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同芝諾悖論一同被稱(chēng)為數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，國(guó)際物流，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證實(shí)，推動(dòng)了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。不可約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜，得不到正確的解釋?zhuān)瑑蓚€(gè)不可通約的比值也一直以為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)義大利著名畫(huà)家達(dá).芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數(shù)”，17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家克卜勒稱(chēng)之為“不可名狀”的數(shù)。然而真理究竟是沉沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希伯索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名“無(wú)理數(shù)”——這就是無(wú)理數(shù)的由來(lái)。由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)下半葉。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被以為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。 分?jǐn)?shù)=有限小數(shù)+無(wú)窮循環(huán)小數(shù)，無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)證實(shí)方法歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證實(shí)無(wú)理數(shù)的經(jīng)典方法：證實(shí):√2是無(wú)理數(shù)假設(shè)不是無(wú)理數(shù)∴是有理數(shù)令(、互質(zhì)且,)兩邊平方得即通過(guò)移項(xiàng)，得到：∴必為偶數(shù)∴必為偶數(shù)令則∴化簡(jiǎn)得∴必為偶數(shù)∴必為偶數(shù)綜上，和都是偶數(shù)∴、互質(zhì)，且、為偶數(shù)矛盾原假設(shè)不成立∴為無(wú)理數(shù)拓展證實(shí)是無(wú)理數(shù)（整數(shù)）,互素。假設(shè)則存在則a為偶數(shù)，設(shè)，為正整數(shù)代人上式有則b同樣是偶數(shù)，與條件（,）為互質(zhì)的最小整數(shù)是相互矛盾的那么假設(shè)是不成立的則成立，那么必為無(wú)理數(shù)。實(shí)例假如正整數(shù)N不是完全平方數(shù)，那么不是有理數(shù)（是無(wú)理數(shù)）。證實(shí)：若假設(shè)是有理數(shù)，不妨設(shè)，其中p與q都是正整數(shù)（不一定互質(zhì)。若假定p、q互質(zhì)則證法稍有變動(dòng)）。設(shè)的整數(shù)部分為a，則有不等式成立。兩邊乘以q，得因p、q、a都是整數(shù)，p-aq也是一個(gè)正整數(shù)。再在上述不等式的兩邊乘以，得即：顯然，qN-ap也是一個(gè)正整數(shù)。于是我們找到了兩個(gè)新的正整數(shù)和，它們滿足，海運(yùn)費(fèi)，即，并且有。重復(fù)上述步驟，可以找到一系列的使得且。因該步驟可以無(wú)窮重復(fù)，意味著均可無(wú)窮減小，但這與正整數(shù)最小為1矛盾。因此假設(shè)錯(cuò)誤，不是有理數(shù)。

無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)窮多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。